Question

Исследовать функцию и построить график.
y=x^3-3x+2

Answer 1

Исследовать функцию и построить график. $y=x^3-3x+2$

1) Находим область определения
Функция определена на всей числовой оси $x in R$

2) Точки пересечения графика функции с осями координат.

С осью Оу,   т.е. х=0
у (0) = 0 - 3 * 0 + 2 = 2

С осью Ох  , т.е. у =0
$x^3-3x+2=0$
Очевидно, что х=1 является корнем уравнения, тогда разделим  многочлен на (х-1), т.е. разложим на множители
$x^3-3x+2= (x-1)(x-1)(x+2) =0$

Корни уравнения
$x_1 = 1 ; x_2 = -2$

Функция имеет три точки пересечения с осями
(-2; 0) , (0; 2) , (1; 0)

3) Исследуем функцию на четность
$y (-x) = (-x)^3-3(-x)+2 = -x^3+3x+2$

Получаем что $y(-x) neq y(x)$  и  $y(-x) neq -y(x)$  , то функция не является четно, ни нечетной. Функция общего вида.

4) Найдем асимптоты графика функции.
Функция не имеет точек разрыва, поэтому вертикальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты $y=kcdot x+b$, где

$[k=mathop{lim }limits_{xto pm infty } frac{fleft(xright)}{x} =mathop{lim }limits_{xto pm infty } frac{x^{3} -3x+2 }{x} =x^{2} -3 + frac{2}{x}=+infty ]$
Наклонных асимптот тоже нет.

5) Найдем экстремум функции и интервалы возрастания, убывания. Для этого вычислим первую производную

$y'=(x^3-3x+2)' = 3 x^{2} -3$

Найдем критические точки, приравняв первую производную к нулю:
$3 x^{2} -3 = 0 \ \ x^{2} =1 \ \ x_{1,2} = pm1$

Эти точки разбивают область определения на три интервала. Находим знак производной $y'$ в каждом из интервалов

х        x<-1          -1      -1<x<1      1       x>1
y'          +             0           -            0       +
y      возраст.     max     убыв.     min    возраст.

Точка (-1; 4) - точка максимума, точка (1; 0) - точка минимума.

6) Строим график функции. Табличные данные и сам график, ниже