Question

Даны вершины треугольника ABC найти уравнение стороны ab

2 уравнение высоты Ch
3 уравнение медианы am
4 точку n пересечения медианы am и высоты Ch
5 уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне ab
6 расстояние от точки c до прямой ab


Координаты вершин : A(-1;-4) B(9;6); C(-5;4)

Answer 1

1) Уравнение стороны АВ:
$AB: frac{x+1}{10} = frac{y+4}{10}$, после сокращения на 10 получаем каноническое уравнение:
$AB: frac{x+1}{1} = frac{y+4}{1} .$
В общем виде х-у-3 = 0.
В виде уравнения с коэффициентом у = х-3.

2) уравнение высоты Ch.
(Х-Хс)/(Ув-Уа) = (У-Ус)/(Ха-Хв).
Подставив координаты вершин, получаем:
 х + у + 1 = 0, или
у = -х - 1.

3)  уравнение медианы am.
(Х-Ха)/(Ха1-Ха ) = (У-Уа)/(Уа1-Уа).
Основание медианы Am (Ха1;Уа1)= ((Хв+Хс)/2; (Ув+Ус)/2) =
= ((9-5)/2=2; (6+4)/2=5) = (2;5).
Получаем уравнение Am: $frac{x+1}{3}= frac{y+4}{9}.$
Можно сократить на 3:
$Am: frac{x+1}{1}= frac{y+4}{3} .$
y = 3x - 1.

4) Точка n пересечения медианы Аm и высоты Ch.
Приравниваем y = 3x - 1 и у = -х - 1.
4х = 0,
х = 0,  у = -1.

5) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB.
(Х-Хс)/( Хв-Ха) = (У-Ус)/(Ув-Уа).
х - у + 9 = 0,
у = х + 9.

6) расстояние от точки С до прямой АВ.
Это высота на сторону АВ.
h = 2S/AB.
Находим стороны треугольника:
АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √200 ≈ 14.14213562,
BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √200 ≈ 14.14213562,
AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √80 ≈ 8.94427191.
Площадь находим по формуле Герона:
S = 60.
h = 2*60/√200 =  8.485281.