Question

tgX*cos3X+sin3X=sin4X с подробным решением, пожалуйста.
и число корней входящих в отрезок [п/4; 7п/4]

Answer 1

$tg(x)cdot cos 3x+sin3x=sin4x\ frac{sin x}{cos x} cdot(4cos^3x-3cos x)+3sin x-4sin^3 x=2sin2xcos2x\ \ sin x(4cos^2x-3)+3sin x-4sin^3x=2sin2xcos2x\ \ 4cos^2xsin x-3sin x+3sin x-4sin^3x=2sin2xcos2x\ \ 4cos^2xsin x-4sin^3x-4sin xcos x=0\ \ 4sin x(cos^2x-sin^2x-cos xcos 2x)=0\ boxed{cos^2x-sin^2x=cos 2x}\ 4sin x(cos2x-cos xcos2x)=0\ 4sin xcos 2x(1-cos x)=0$

Произведение равно нулю
$left[begin{array}{ccc}4sin x=0\ cos 2x=0\ 1-cos x=0end{array}rightRightarrow left[begin{array}{ccc}sin x=0\cos2x=0\ cos x=1end{array}rightRightarrow left[begin{array}{ccc}x= pi k,k in Z\ x= frac{pi}{4}+ frac{pi n}{2},n in Z\ x=2pi n,n in Z end{array}right$

Отбор корней
$k=1;,,,,x=pi\ n=0;,,,,x= frac{pi}{4} \ n=1;,,,,x= frac{3pi}{4} \n=2;,,,,x= frac{5pi}{4} \n=3;,,,,x= frac{7pi}{4}$