Question

Преобразуйте сумму к более простому виду 1 / 1 * 2 + 1 / 2*3+1/3*4+...+1/n (n+1)

Answer 1

$frac{1}{1*2}+frac{1}{2*3}+frac{1}{3*4}+...+frac{1}{n(n+1)}=$
$frac{2-1}{1*2}+frac{3-2}{2*3}+frac{4-3}{3*4}+...frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=$
$frac{2}{1*2}-frac{1}{1*2}+frac{3}{2*3}-frac{2}{2*3}+frac{4}{3*4}-frac{3}{3*4}+...+frac{n+1}{n(n+1)}-frac{n}{n(n+1)}=$
$1-frac{1}{2}+frac{1}{2}-frac{1}{3}+frac{1}{3}-frac{1}{4}+...+frac{1}{n}-frac{1}{n+1}$
$1-frac{1}{n+1}=frac{n+1-1}{n+1}=frac{n}{n+1}$