Question

Помогите, пожалуйста, решить олимпиадную задачу (9кл). Олимиада уже прошла, но хочется знать решение. Программа на Паскале. Заранее спасибо.

Петя выписал все сочетания из N первых латинских букв по K букв. В каждом сочетании он выписывал буквы в лексикографическом (словарном) порядке. Сочетания он выписывал в лексикографическом порядке по одному в строке. Надо узнать какое слово записано в M-ой строке.

Входные данные: целые числа N, K, M (1<=N<=26, 1<=K<=N, а М не превосходит количества всех выписанных сочетаний).

Выходные данные: вывести М-ое выписанное сочетание.

Пример:
вх: 4 2 3
вых: ad
Пояснение: все сочетания в порядке их записи: ab ac ad bc bd cd (третьим по счету сочетанием является ad).

Answer 1

var n,k,i,d,m:longint;
    b:array[1..26] of boolean;

procedure writesymbol(j:longint);
begin
write(chr(ord('a')+j-1));
end;

procedure print(x:longint);
var z,h,p:longint;
begin
z := 0;
p := 0;
while true do
begin
p := p + 1;
if b[p] = false then z := z + 1;
if z = x then break;
end;
x := p;
b[x] := true;
writesymbol(x);
end;

function fa_l(a,b:longint):longint;
var s,h:longint;
begin
s := 1;
for h := a to b do s := s * h;
fa_l := s;
end;

begin
read(n,k,m);

d := fa_l(n-k+1,n-1);

for i := k downto 1 do
begin
print((m - 1) div d + 1);
if m mod d = 0 then m := d else
m := m mod d;
d := d div (n - (k - i + 1));
end;
end.

Answer 2

Кстати

Answer 3

Там есть один косяк

Answer 4

Я буду думать, что сочетание - набор нулей и единиц, в котором на i-м месте стоит 0, если i-й буквы нет в сочетании, и 1, если она есть. Тогда, например, (0111) соответствует bcd. Общее число чисел по условию N, число единиц равно K. Этот список упорядочен по убыванию, и нам необходимо найти M-е число в этом списке.
Всего число способов выбрать K элементов из N равно C_N^K ("цэ из N по K").
Поймем, например, надо ли брать 1-й элемент. Всего сочетаний, где первый элемент взят: C_(N-1)^(K-1) {в самом деле, в этом случае осталось выбрать K-1 из оставшихся N-1}; не взят: C_(N-1)^K. Учитывая, что те, в которые первый элемент входит, идут перед теми, в которые он не входит, решаем: если M > C_(N-1)^(K-1), 1-й элемент не берём, иначе берём.
Дальше если 1-й взяли, M оставляем таким же, если нет - уменьшаем на C_(N-1)^(K-1).
Процесс повторяем, пока не найдем все буквы.
Осталось понять, как считать C_N^K. Исходя из рассуждений выше, C_N^K = C_(N-1)^(K-1) + C_(N-1)^K. Кроме того, C_N^0 = 1 для всех N, C_N^K = 0 при K < 0 или K > N. Пользуясь этим, можно найти все C_N^K. Не забываем про длинную арифметику: C_N^K может не влезать в обычные типы данных. Я буду писать на PascalABC.NET, там длинная арифметика есть - тип BigInteger, если нет - легко найти, как это писать. (Update: в данном случае всё влезет в longint - биномиальные коэффициенты не превысят 10 миллионов с небольшим). 
Итак, вот и искомый код:
begin
  var N, K: integer;
  read(N, K);
  var M := ReadString().ToBigInteger();
  var C: array[,] of BigInteger := new BigInteger[N, K];
  for var j := 1 to K - 1 do
    C[0, j] := 0;
  for var i := 0 to N - 1 do
    C[i, 0] := 1;
  for var i := 1 to N - 1 do
    for var j := 1 to K - 1 do
      C[i, j] := C[i - 1, j] + C[i - 1, j - 1];
  var possible := 'a';
  while K > 0 do
  begin
    if M <= C[N - 1, K - 1] then
    begin
      write(possible);
      dec(K);
    end
    else
      M := M - C[N - 1, K - 1];
    dec(N);
    inc(possible);
  end;
end.

Без BigInteger:
begin
  var N, K: integer;
  var M: longint;
  read(N, K, M);
  var C: array[,] of longint := new longint[N, K];
  for var j := 1 to K - 1 do
    C[0, j] := 0;
  for var i := 0 to N - 1 do
    C[i, 0] := 1;
  for var i := 1 to N - 1 do
    for var j := 1 to K - 1 do
      C[i, j] := C[i - 1, j] + C[i - 1, j - 1];
  var possible := 'a';
  while K > 0 do
  begin
    if M <= C[N - 1, K - 1] then
    begin
      write(possible);
      dec(K);
    end
    else
      M := M - C[N - 1, K - 1];
    dec(N);
    inc(possible);
  end;
end.