Question

Помогите найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Answer 1

$left { {{frac{dx}{dt}=7x+3y} atop {frac{dy}{dt}=x+5y}} right.$

составим матрицу:
$A = begin{pmatrix} 7 & 3 \ 1 & 5 \ end{pmatrix}$

характеристическая матрица:

$A-Elambda=begin{pmatrix} 7-lambda & 3 \ 1 & 5-lambda \ end{pmatrix}$

характеристическое уравнение:
$|A-Elambda|=0$

$(7-lambda)*(5-lambda)-3*1=0$

$lambda^2-12lambda+32=0$

$lambda^2-4lambda-8lambda+32=0$

$lambda(lambda-4)-8(lambda-4)=0$

$(lambda-8)(lambda-4)=0$

$lambda_1=8;lambda_2=4$ - вещественные однократные корни

найдем собственный вектор для собственного числа $lambda_1=8$:

$(A-Elambda_1)overline{B}=begin{pmatrix} 7-lambda_1 & 3 \ 1 & 5-lambda_1 \ end{pmatrix}begin{pmatrix} b_1 \ b_2\ end{pmatrix}=0$

$left { {{(7-lambda_1)b_1+3b_2=0} atop {b_1+(5-lambda_1)b_2=0}} right.; left { {{-b_1+3b_2=0} atop {b_1-3b_2=0}} right.$

вторая строка есть следствие первой, по этому:
$b_1-3b_2=0$
положим $b_2=1$, тогда $b_1=3$

$overline{B}=begin{pmatrix} 3 \ 1\ end{pmatrix}$

таким образом $lambda_1=8$ соответствует частное решение:
$overline{X_1}=begin{pmatrix} x \ y\ end{pmatrix}=e^{lambda_1t}overline{B}=e^{8t}begin{pmatrix} 3 \ 1\ end{pmatrix}$


найдем собственный вектор для собственного числа $lambda_1=4$:

$(A-Elambda_2)overline{B}=begin{pmatrix} 7-lambda_2 & 3 \ 1 & 5-lambda_2 \ end{pmatrix}begin{pmatrix} b_1 \ b_2\ end{pmatrix}=0$

$left { {{(7-lambda_2)b_1+3b_2=0} atop {b_1+(5-lambda_2)b_2=0}} right.; left { {{3b_1+3b_2=0} atop {b_1+b_2=0}} right.$

вторая строка есть следствие первой, по этому:
$b_1+b_2=0$
положим $b_2=1$, тогда $b_1=-1$

$overline{B}=begin{pmatrix} -1 \ 1\ end{pmatrix}$

таким образом $lambda_1=4$ соответствует частное решение:
$overline{X_2}=begin{pmatrix} x \ y\ end{pmatrix}=e^{lambda_2t}overline{B}=e^{4t}begin{pmatrix} -1 \ 1\ end{pmatrix}$

два частных решения $overline{X_1}$ и $overline{X_2}$ линейнонезависимы, общее решение системы дифф. ур. имеет вид:

$overline{X}=begin{pmatrix} x \ y\ end{pmatrix}=C_1overline{X_1}+C_2overline{X_2}=C_1e^{8t}begin{pmatrix} 3 \ 1\ end{pmatrix}+C_2e^{4t}begin{pmatrix} -1 \ 1\ end{pmatrix}$

или: $left { {{x(t)=3C_1e^{8t}-C_2e^{4t}} atop {y(t)=C_1e^{8t}+C_2e^{4t}}} right.$