Question

Помогите найти общее решение дифференциального уравнения

Answer 1

ищем общее решение уравнения:
$y''-4y'+4y=0$

В виде: $y(x)=e^{lambda x}$

$lambda^2 e^{lambda x}-4lambda e^{lambda x}+4e^{lambda x}=0$

получили характеристическое уравнение:

$lambda^2-4lambda+4=0$

$(lambda-2)^2=0$

$lambda_{1,2}=2$

$y_0(x)=(C_1+C_2x)e^{2x}$

Частное решение исходного уравнения ищем в виде:
$y_{particular}=e^{2x}(Asin(4x)+Bcos(4x))$

$y_{particular}'=[e^{2x}(Asin(4x)+Bcos(4x))]'=$

$=2e^{2x}(Asin(4x)+Bcos(4x))+4e^{2x}(Acos(4x)-Bsin(4x))=$

$=2e^{2x}[(A-2B)sin(4x)+(2A+B)cos(4x)]$

$y''_{part}=4e^{2x}[-(3A+4B)sin(4x)+(4A-3B)cos(4x)]$

при $sin(4x)$:

$-4(3A+4B)-8(A-2B)+4A=1$

при $cos(4x)$:

$4(4A-3B)-8(2A+B)+4B=0$

$left { {{-16*A+0*B=1} atop {0*A-16B=0}} right.;left {{{A=-frac{1}{16}} atop {B=0}} right.$

решение уравнения:

$y(x)=y_0(x)+y_{part}(x)=(C_1+C_2x)e^{2x}-frac{sin(4x)}{16}e^{2x}=$

$=[C_1+C_2x-frac{sin(4x)}{16}]e^{2x}$