Question

1) найти целые решения системы :
x+y=2 и xy+z^2=1 ( оба уравнения в одной системе)
2)Доказать, что если a,b,c - положительные числа и abc=1, то a+b+c ⩾3
все решить подробно и понятно, баллы таки не маленькие с:

Answer 1

решим уравнение $xy+z^2=1$ относительно $z$:

$z=pm sqrt{1-xy},xy leq 1$

для решения в целых числах необходимо, что бы подкоренное выражение было полным квадратом:

$left { {{1-xy=k^2,kin Z} atop {xy leq 1}} right.$

используем условие, что $x+y=2;y=2-x$

$left { {{1-x(2-x)=k^2,kin Z} atop {x(2-x) leq 1}} right.; left { {{1-2x+x^2=k^2,kin Z} atop {2x-x^2 leq 1}} right.; left { {{(x-1)^2=k^2,kin Z} atop {0 leq 1-2x+x^2}} right.;$

$left { {{(x-1)^2-k^2=0,kin Z} atop {0 leq (x-1)^2}} right.;$

второе условие системы выполняется всегда

получили: $(x-1-k)(x-1+k)=0,kin Z$

$x=1+k,or,x=1-k,kin Z$

$left { {{x=1+k} atop {y=2-(1+k)}} atop {z=pm k } right.,or, left { {{x=1-k} atop {y=2-(1-k)}} atop {z=pm k } right.$

$left { {{x=1+k} atop {y=1-k}} atop {z=pm k } right.,or, left { {{x=1-k} atop {y=1+k)}} atop {z=pm k } right.$

Ответ: (1+k;1-k;k); (1+k;1-k;-k); (1-k;1+k;k); (1-k;1+k;-k); где $kin Z$

Докажем, что $frac{a+b+c}{3} geq sqrt[3]{abc};a textgreater 0;b textgreater 0;c textgreater 0$

Пусть $a=x^3$; $b=y^3$; $c=z^3$

тогда наше неравенство равносильно неравенству (его нам тепер нужно доказывать):
$x^3+y^3+z^3 geq 3xyz$

$x^3+y^3+z^3-3xyz geq 0$

предлагаю разложить на множители уже самому
$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)$

$x+y+z textgreater 0$ по условию

докажем, что $x^2+y^2+z^2 geq xy+xz+yz$

для это рассмотрим верное неравенство:
$(x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2 geq 0$

$x^2-2xy+y^2+x^2-2xz+z^2+y^2-2yz+z^2 geq 0$

$2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz geq 0$

$x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz geq 0$

$x^2+y^2+z^2 geq xy+xz+yz$

мы доказали, что $frac{a+b+c}{3} geq sqrt[3]{abc};a textgreater 0;b textgreater 0;c textgreater 0$

тогда $a+b+c geq 3sqrt[3]{abc}=3* sqrt[3]{1}=3$

неравенство доказано

Answer 2

пожалуйста

Answer 3

Да я и так сижу, думаю)