Question

Вопрос про интеграл.
К примеру возьмём такой интеграл:
$intlimits^2_{-3} ({2x-3}) , dx$
Как правильно интегрировать? Варианты:
$2) ; intlimits {(2x-3)} , dx=2*frac{x^2}{2}-3x=x^2-3x;$
Или надо по формуле:
$; intlimits {f(kx+b)} , dx=frac{1}{k}F(kx+b)\ 2); 1) ; intlimits {(2x-3)} , dx=frac{1}{2}F(2x-3)=frac{1}{2}(2*frac{x^2}{2}-3x)=frac{1}{2}(x^2-3x);$
Такое решение даёт неверный ответ. Может неправильно использовал формулу, и правильнее будет так:
$3) ; intlimits {(2x-3)} , dx=frac{1}{2}*frac{(2x-3)^{1+1}}{1+1}=frac{(2x-3)^2}{4}$
В 3-ем использовалась не только формула функции, но и степенной.
Правильный ответ дают 1-ое и 3-ье решения.

Answer 1

Можно воспользоваться заменой переменной:

$int (2x-3), dx=[t=2x-3;,; dt=d(2x-3)=(2x-3)', dx=2, dx,\\dx=frac{dt}{2}, ]=frac{1}{2}cdot int tcdot dt=frac{1}{2}cdot frac{t^2}{2}+C=frac{1}{4}cdot (2x-3)^2+C;; ; to \\int _{-3}^2(2x-3), dx=frac{1}{4}cdot (2x-3)^2, |_{-3}^2=frac{1}{4}cdot (1^2-(-9)^2)=\\=frac{1}{4}cdot (1-9)=-2$

Можно воспользоваться формулой, что я считаю более квалифицированным ответом, так как если линейная функция будет не в 1 степени , а например, в 100-ой, то представить в виде многочлена такое выражение будет почти невозможно.Фактически формула выводится с помощью подстановки ( или с помощью подведения под знак дифференциала). Для степенной функции формула будет выглядеть так:

$int (ax+b)^{n}dx=frac{1}{a}cdot frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}+C$

Как видите, из этих соображение ответ во 2 пункте у вас неверен, так как там неправильно найдена первообразная от степенной функции (в основании которой находится линейная функция).