Question

Докажите, что значение выражения x^2+2y^2+2xy+6y+10 положительно при любых значениях переменных x и y.

Answer 1

$x^2+2y^2+2xy+6y+10=(x^2+2xy+y^2)+(y^2+6y+9)+1=$
$(x^2+2xy+y^2)+(y^2+2*y*3+3^2)+1=$
$(x+y)^2+(y+3)^2+1 >0$
при любых x и y,как сумма двух неотрицательных выражений (квадрат любого действительного выражения всегда неотрицателен) и положительного выражений.
доказано.

Answer 2

х²+2у²+2ху+6у+10=(х²+2ху+у²)+(у²+2*3у+9)+1=(х+у)²+(у+3)²+1
(х+у)²≥0 
(у+3)²≥0
значит х²+2у²+2ху+6у+10=(х+у)²+(у+3)²+1 >0   всегда!