Question

1)Найдите объем тела,полученного при вращении параболы y=x^2 от точки x=0 до точки x=2 вокруг оси абсцисс.
2)Найдите объем тела,полученного при вращении параболы y=x^2 от точки x=-2 до точки x=2 вокруг оси ординат.

Answer 1

1)

Объём тела, полученного при вращении вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y=x², x=0, x=2, равен:

$tt displaystyle V=pi intlimits^2 _0 y^2 ; dx=pi intlimits^2 _0 x^4 ; dx=pi cdot begin{pmatrix}frac{x^5}5end{pmatrix} begin{vmatrix}\ \ end{matrix} ^2 _0 =\ \ \ =pi begin{pmatrix}frac{2^5}5 -frac{0^5}5end{pmatrix} =frac{32}5 pi =6,! 4, pi$

Ответ: 6,4π.

2)

При x = -2, y = (-2)² = 4.

При x = 2, y = 2² = 4.

Надо найти объём тела, полученного при вращении вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями y=x², y=4. $tt displaystyle y=x^2 rightarrow y_min =0$

$tt displaystyle V=pi intlimits^4 _0 x^2 ; dy=pi intlimits^4 _0 y ; dy=pi cdot begin{pmatrix}frac{y^2}2end{pmatrix} begin{vmatrix}\ \ end{matrix} ^4 _0 =\ \ \ =pi begin{pmatrix}frac{4^2}2 -frac{0^2}2end{pmatrix} =8pi$

Ответ: 8π.