Question

Доведіть, що добуток (n+3)(n+4) є парним числом при будь-якому натуральному n

Answer 1

При любом натуральном n выражения n+3 и n+4 являются последовательными натуральными числами.

Из двух любых последовательных натуральных чисел одно обязательно четное, второе - обязательно нечетное.

Произведение любого четного натурального числа с любым нечетным натуральным числом есть число четное:
                                                   2n*(2n+1) = 4n² + 2n - четное при любых n∈N

Рассмотрим подробнее:
(n+3)(n+4) = n² + 7n + 12  - В случае, если n - четное, то все три
                                              слагаемых будут четными, и их сумма
                                              также четная.
В случае, если n - нечетное, получаем:
                   n² - нечетное, как произведение двух нечетных чисел.
                 7n - также нечетное по той же причине.
Сумма двух нечетных натуральных чисел есть число четное:
                  (2n+1) + (2n+1) = 4n+2  - четное при любых n∈N.
Таким образом, если n - нечетное, то n² + 7n + 12 - четное при
любых n∈N.

Значит, (n+3)(n+4) будет четным числом при любом n∈N.