Question

Построение графика функции с помощью производной

Answer 1

Попробуем исследовать в меру возможного.
1) Область определения.
X⊂ R или Х ⊂ (-∞;+∞)
2) Непрерывная. Разрывов нет.
3) На четность.   У(1) = 2/5 и  У(-1) = 0. Функция ни четная, ни нечетная.
4) Пересечение с осью Х при Х= -1.
     Пересечение с осью У  при Х=0    У=1
5) Асимптоты. Lim(-∞) = 0.  Lim(+∞) = 0.
6) Монотонность.
Производная
$Y'= frac{1}{ x^{2} +1}- frac{2x(x+1)}{ ( x^{2} +1)^{2} }$
Убывает - Х⊂(-∞,-√2-1]∪[√2-1,+∞)
Возрастает - X⊂[-√2-1,√2-1]
Точки экстремума.
$Ymin =- frac{ sqrt{2} }{(- sqrt{2}-1 ) ^{2}+1 }$
$Ymax= frac{ sqrt{2} }{( sqrt{2}-1 )^{2}+1 }$
График, конечно, приблизительный.