Question

Найдите все такие натуральные k, что при любом нечётном n>200 число 19^n+18^n делится на k. Укажите наибольший возможный вариант.

Answer 1

Пусть а=18²⁰¹, b=19²⁰¹. Если a+b делится на k,
то a=rk-b при некотором r, а значит 
18²⁰³+19²⁰³=18²a+19²b=18²(rk-b)+19²b=37b+18²rk. Т.к. оно тоже должно делиться на k, то получаем, что 37b делится на k. Аналогично, 37а должно делиться на k. Т.к. а и b взаимно просты, то k может быть только 37. Ну и  понятно, что 18ⁿ+19ⁿ при любом  нечетном n всегда делится на 18+19=37. Так что ответ k=37.