Question

решить уравнение. 2cosx=2^x+2^-x

Answer 1

для любого действительного х справедливо
$-1 leq cos x leq 1$
поэтому
$2 cos x leq 2*1=2$
$2cos x leq 2$
с другой стороны
$2^x+2^{-x} geq 2$
так как
$2^x+2^{-x}-2=2^x+frac{1}{2^x}-2=frac{(2^x)^2-2*2^x*1+1^2}{2^x}=$
$=frac{(2^x-1)^2}{2^x} geq 0$ как отношение двух вЫражений неотрицательного (квадрат любого выражения неотрицателен) и положительного (свойство показательной функции)
причем равенство достигается только при
$2^x-1=0; 2^x=2^0; x=0$

итого левая часть уравнения не превышает 2, а правая не меньше 2, значит уравнение имеет корни тогда и только тогда когда обе части уравнения равны 2 , но как уже заметили правая часть равняется 2 только когда х=0, так как левая часть при х=0 также дает значение 2 то х=0 - решение и единственное
ответ: 0