Question

40 БАЛЛОВ
Для положительных a и b выплняется равенство a+b=a²+b²=a³+b³. Докажите что a=b=1.

Answer 1

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) по условию равно a + b.

a + b не равно 0, значит, a^2 - ab + b^2 = 1 или a^2 - ab + b^2 - 1 = 0

Теперь вспоминаем, что a^2 + b^2 = a + b:
a + b - ab - 1 = 0
(a - ab) + (b - 1) = 0
(a - 1)(b - 1) = 0

Для того, чтобы произведение было равно нулю, хотя бы один из сомножителей должен быть равен нулю, т.е. хотя бы одно из чисел a, b, равно 1. 

Без умаления общности можно считать, что a = 1 (система симметрична относительно замены a на b и наоборот). Докажем, что b = 1.

Подставляем a = 1 в равенство a^2 + b^2 = a + b:
b^2 + 1 = b + 1
b^2 - b = 0
b(b - 1) = 0

b > 0, значит, b = 1, как и требовалось.