Question

Диагонали ромба АВСD равны 12 и 16. Найдите длину вектора АВ - АС рис. в вложении.

Answer 1

$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}$

Нужно найти длину вектора CB.

По свойству ромба диагонали AC и BD перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Обозначим точку пересечения диагоналей буквой О. Рассмотрим треугольник BOC. Он прямоугольный с гипотенузой CB и катетами 12/2 = 6 и 16/2 = 8. По теореме Пифагора гипотенуза равна
$CB=\sqrt{6^2+8^2}=10$

Ответ. 10

Answer 2

Теорема косинусов: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Определим, длину какого вектора нам надо найти:
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}$
Итак, предстоит найти длину вектора $\overrightarrow{CB}$, или длину стороны CB, т.е. длину стороны ромба.

Пусть сторона ромба a.
По теореме косинусов, диагональ ромба BD равна:
$BD^2 =a^2 + a^2 - 2a*a*cosA=2a^2 -2a^2 cosA$

По теореме косинусов диагональ AC равна:
$AC^2 =a^2 + a^2 - 2a*a*cosB=2a^2 -2a^2 cosB= \\ \\ =2a^2 -2a^2 cos(180-A)=2a^2 +2a^2 cosA$
Угол B смежный с углом A.

Получили два уравнения с двумя неизвестными:
$\left \{ {{BD^2 =2a^2 -2a^2 cosA} \atop {AC^2 =2a^2 +2a^2 cosA}} \right.$

Сложим два уравнения почленно:
$BD^2 +AC^2=4a^2 \\ \\ a^2 = \frac{BD^2 +AC^2}{4} \\ \\ a = \frac{1}{2} \sqrt{BD^2 +AC^2}$

Подставляем:
$a = \frac{1}{2} \sqrt{12^2 +16^2} =\frac{1}{2} \sqrt{144 +256} = \\ \\ =\frac{1}{2} \sqrt{144 +256} =\frac{1}{2} \sqrt{400} =\frac{1}{2} 20 =10$