Question

найдите производную функции в любой точке x ее области определения.
y=x/(x^2+1)

Answer 1

Дано: $y(x)=frac{x}{x^2+1}$

Найти: $y'(x_0)$, $x_0in D(y)$

$y'(x)=(frac{x}{x^2+1})'=y'=(x*(x^2+1)^{-1})'=$

$=(x)'*(x^2+1)^{-1}+x*(x^2+1)^{-1})'=$

$=1*(x^2+1)^{-1}+x*(-1)*(x^2+1)^{-2}*(x^2+1)'=$

$=frac{1}{x^2+1}-frac{x}{(x^2+1)^{2}}*[(x^2)'+(1)']=$

$=frac{1}{x^2+1}-frac{x}{(x^2+1)^{2}}*[2x+0]=frac{1}{x^2+1}-frac{2x^2}{(x^2+1)^{2}}= frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2} =-frac{x^2-1}{(x^2+1)^2}$


Выбираем точку $x_0=0$
$y'(0)=-frac{0^2-1}{(0^2+1)^2}= -frac{-1}{1} =1$