Question

Умоляю, помогите а и б!!
упростите выражение 2tg альфа (1-sin^2альфа)

Answer 1

Согласно основному тригонометрическому тождеству

$<var>1-\sin^\alpha=\cos^2\alpha</var>$

$<var>2\tan\alpha*(1-\sin^2\alpha)=2\tan\alpha*\cos^2\alpha</var>$

 

По одной из тригонометрических формул

$<var>\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}</var>$

 

$<var>2\tan\alpha*\cos^2\alpha=2*\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}*\cos^2\alpha</var>$

 

Сократив дробь, получим

 

$<var>2*\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}*\cos^2\alpha=2*\sin\alpha*\cos\alpha=\sin(2\alpha)</var>$

 

Во втором задании используем в числителе формулу

 

$<var>\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}</var>$

 

$<var>\frac{\cos(5\alpha)+\cos\alpha}{\cos(2\alpha)\cos\alpha-\sin(2\alpha)\sin\alpha}=</var>$

 

$<var>\frac{2\cos\frac{5\alpha+\alpha}{2}*\cos\frac{5\alpha-\alpha}{2}}{\cos(2\alpha)\cos\alpha-\sin(2\alpha)\sin\alpha}=\frac{2\cos(3\alpha)\cos(2\alpha)}{\cos(2\alpha)\cos\alpha-\sin(2\alpha)\sin\alpha}</var>$

 

В знаменателе воспользуемся формулой формулой суммы косинусов

 

$<var>\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)</var>$

 

$<var>\frac{2\cos(3\alpha)\cos(2\alpha)}{\cos(2\alpha)\cos\alpha-\sin(2\alpha)\sin\alpha}=\frac{2\cos(3\alpha)\cos(2\alpha)}{\cos(2\alpha+\alpha)}</var>$

 

$<var>\frac{2\cos(3\alpha)\cos(2\alpha)}{\cos(2\alpha+\alpha)}=\frac{2\cos(3\alpha)\cos(2\alpha)}{\cos(3\alpha)}</var>$

 

Сократив числитель и знаменатель, получим

 

$<var>\frac{2\cos(3\alpha)\cos(2\alpha)}{\cos(3\alpha)}=2\cos(2\alpha)</var>$