Question

В треугольнике ABC медиана AD и биссектриса BE перпендикулярны и пересекаются в точке F. Известно, что площадь треугольника DEF равна 5. Найдите площадь треугольника ABC.

Answer 1

Т.к. BF - медиана и высота треугольника ABD, то AB=BD. На продоложении отрезка BA за точку A возьмем точку G так, что AG=AB и пусть H - точка пересечения прямой BE с GC. Тогда AB=BC и BH - биссектриса и медиана треугольника GBC, Е - точка пересечения его медиан,  AD - его средняя линия. Т.к. треугольник GEH подобен треугольнику DEF с коэффициентом подобия 2, то S(GEH)=4S(DEF)=20. Т.к. медианы BH, CA и  GD треугольника GBC делят его на 6 равновеликих треугольников (это так в любом треугольнике), то S(ABC)=3*S(GEH)=60.