Question

середины сторон пятиугольника лежат в одной плоскости докажите,что все его вершины лежат в этой плоскости

Answer 1

Обозначим 5-угольник ABCDE. Плоскость β, в которой лежат середины его сторон разбивает все пространство на два полупространства, обозначим их I и II. Предположим, что A∉β. Для определенности, пусть А∈I. Тогда, т.к. отрезок AB в середине пересекает плоскость β, то B∈II. Значит, по той же причине С∈I, тогда D∈II, E∈I, и замыкая круг, получим A∈II. Это противоречие, т.к. мы выбирали А лежащей в первом полупространстве. Значит А∈β. Аналогично поступаем для остальных вершин.