Question

Даны точки А(1;5), В(-2;2), С(0;0) и Д(3;3). Докажите, что:
а) АВСД- параллелограмм;
б) АВСД- прямоугольник.

Answer 1

1) Составляем уравнения всех сторон четырёхугольника по общему виду уравнеия

     прямой, проходящей через две точки:

     $<var>\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}</var>$

 

     AB: $<var>\frac{x-1}{-2-1}=\frac{y-5}{2-5}\ \ \ \frac{x}{-3}=\frac{y-5}{-3}\ \ \ y=x+4</var>$

 

     CD: $<var>\frac{x-0}{3-0}=\frac{y-0}{3-0}\ \ \ \frac{x}{3}=\frac{y}{3}\ \ \ y=x</var>$

 

     BC: $<var>\frac{x+2}{0+2}=\frac{y-2}{0-2}\ \ \ \frac{x+2}{2}=\frac{y-2}{-2}\ \ \ y=-x</var>$

 

     AD: $<var>\frac{x-1}{3-1}=\frac{y-5}{3-5}\ \ \ \frac{x-1}{2}=\frac{y-5}{-2}\ \ \ x-1=5-y\ \ \ y=-x+6</var>$

 

     Условием параллельности двух прямых вида:

     $<var>y=a_1x+b_1\\y=a_2x+b_2</var>$

     является равенство: $<var>a_1=a_2</var>$

     Проверяем на параллельность прямые AB и CD:

     $<var>AB\ \ y=x+4\\CD\ \ y=x\ \ \ \ \ \ a_1=a_2=1</var>$,

     значит AB||CD

     Проверяем на параллельность прямые BC и AD: 

     $<var>BC\ \ y=-x\\AD\ \ y=-x+6\ \ \ \ \ \ a_1=a_2=-1</var>$

     значит BC||AD

     Стороны четырёхугольника параллельны, значит он является параллелограммом.

 

 

2) Чтобы доказать, что ABCD - прямоугольник, достаточно доказать, что CD

     перпендикулярна ВС.

     Условием перпендикулярности двух прямых вида:

     $<var>y=a_1x+b_1\\y=a_2x+b_2</var>$

     является равенство: $<var>a_1\cdot a_2=-1</var>$

     $<var>CD\ \ y=x\\BC\ \ y=-x\ \ \ \ \ \ a_1\cdot a_2=-1</var>$

     Значит CD перпендикулярна ВС, то есть ABCD-прямоугольник