Question

Помогите срочно!
Нужно с графиком решить 3 примера!
Умоляю, ставлю все свои баллы.
Очень важная домашняя работа!
задание во вложении!
Если кому то мой почерк не понятен, напишите
Спасибо огромное тем кто поможет!

Answer 1

1
функция $y(x)=(x-1)^2$ пересекает ось ОХ в точке с абсциссой $1$ значит площадь, которую спросили найти в задаче, площадь криволинейного треугольника находим как:

$S_{ABC}= intlimits^2_1 {(x-1)^2} , dx = intlimits^2_1 {(x-1)^2} , d(x-1)= frac{(x-1)^{2+1}}{2+1}|_1^2=$

$=frac{(x-1)^{3}|_1^2}{3}= frac{(2-1)^{3}-(1-1)^3}{3}= frac{1-0}{3}= frac{1}{3}$

2
функция $y(x)=2x-x^2$ - парабола ветками вниз, поскольку перед $x^2$ стоит минус

ищем точки пересечения этой параболой оси ОХ:
$2x-x^2=0$

$x(2-x)=0$

$x(x-2)=0$

парабола пересекает ось ОХ в точках с абсциссами $0$ и $2$

вершина параболы $(x_0;y_0)$:
$x_0=- frac{b}{2a} =- frac{2}{2*(-1)}=1$
$y_0=y(x_0)=2*1-(1)^2=2-1=1$

искомая площадь:
$S= intlimits^2_0 {(2x-x^2)} , dx = 2intlimits^2_0 {x} , dx -intlimits^2_0 {x^2} , dx=2* frac{x^2|^2_0}{2} - frac{x^3|^2_0}{3} =$

$=2^2-0^2 - frac{2^3-0^3}{3} =4- frac{8}{3}= frac{4*3-8}{3}= frac{4}{3}$

3
функция $y(x)=4-x^2$ - парабола ветками вниз, поскольку перед $x^2$ стоит минус

ищем точки пересечения этой параболой оси ОХ:
$4-x^2=0$

$x^2-2^2=0$

$(x-2)(x+2)=0$

парабола пересекает ось ОХ в точках с абсциссами $-2$ и $2$

вершина параболы совпадает с точкой, в которой она, парабола, пересекает ось ОУ, и это точка: $(0;4)$, это очевидно из того факта, что выражение $4-x^2$ принимает свое наибольшее значение $4$ при $x=0$.

искомая площадь:
$S= intlimits^2_{-2} {(4-x^2)} , dx= 4intlimits^2_{-2} {} , dx- intlimits^2_{-2} {x^2} , dx =4x|_{-2}^2- frac{x^3|_{-2}^2}{3} =$

$=4(2-(-2))- frac{2^3-(-2)^3}{3} =4*4- frac{8+8}{3}=16- frac{16}{3}= frac{16*3-16}{3}= frac{32}{3}$

Answer 2

1. Чертим график и по нему определяем внешний вид искомой трапеции и пределы в которых она находится. В данном задании это 0 и 2. Так как геометрический смысл определённого интеграла это площадь, то остаётся найти этот интеграл:
$S= intlimits^2_1 {(x-1)^2} , dx = intlimits^2_1 {(x^2-2x+1)} , dx = frac{x^3}{3} -x^2+x|_1^2=$
$=frac{2^3}{3} -2^2+2-( frac{1}{3}-1+1) = frac{8}{3} -4+2- frac{1}{3} = frac{1}{3}$

2. Снова чертим график и по нему определяем пределы интегрирования, в этом задании это 0 и 2. Теперь находим интеграл
$S= intlimits^2_0 {(2x-x^2)} , dx =x^2- frac{x^3}{3} |_0^2=2^2- frac{2^3}{3}-0= frac{4}{3}=1 frac{1}{3}$

3. И опять график и пределы интегрирования: -2 и 2.
$S= intlimits^2_{-2} {(4-x^2)} , dx =4x- frac{x^3}{3} |_{-2}^2=4*2- frac{2^3}{3}-(4*(-2)- frac{-2^3}{3}) =$
$=8- frac{8}{3} -(-8+ frac{8}{3})= 8+8- frac{8}{3} - frac{8}{3} =16- frac{16}{3} =10 frac{2}{3}$