Question

Докажите,что четырехугольник ABCD с вершинами в точках:А(4;1),В(3;5),С(-1;4),D(0;0) является прямоугольником.

Answer 1

Длины всех сторон четырехугольника ABCD

$\tt AB=\sqrt{(3-4)^2+(5-1)^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}\\ BC=\sqrt{(-1-3)^2+(4-5)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}\\ CD=\sqrt{(0+1)^2+(0-4)^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}\\ AD=\sqrt{(0-4)^2+(0-1)^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}$

Получили ABCD - ромб

Найдем теперь угол между векторами AB и AD:

cos(AB^AD) = AB*AD/(|AB|*|AD|)= 0 откуда угол между векторами AB и AD равен 90°, следовательно, четырехугольник ABCD - квадрат.