Предмет: Алгебра, автор: Артур998

F(x) = x^4 – 2x² - 8 . Решить по этому плану .

Приложения:

Ответы

Автор ответа: Artem112
0
f(x)=x^4-2x^2-8

1. Область определения - все действительные числа: xin R

2. Исследование функции на четность:
f(-x)=(-x)^4-2(-x)^2-8=x^4-2x^2-8=f(x) - функция четная

3. Точки пересечения с осями координат:
x^4 - 2x^2 - 8=0
\
D_1=(-1)^2-1cdot(-8)=1+8=9
\
x^2=1+3=4;  x=pm2
\
x^2 neq 1-3=-2 textless  0
Точки пересечения с осью х: (2; 0); (-2; 0)
f(0)=0^4-2cdot0^2-8=-8

Точка пересечения с осью y: (0; -8)

4. Исследование функции на монотонность и экстремумы:
f'(x)=4x^3-4x
\
f'(x)=0:
\
4x^3-4x=0
\
4x(x^2-1)=0
\
4x(x-1)(x+1)=0
Точка минимума x_{min}=-1; минимум y_{min}=(-1)^4-2cdot(-1)^2-8=1-2-8=-9
Точка максимума x_{max}=0; максимум: y_{max}=-8
Точка минимума x_{min}=1; минимум y_{min}=1^4-2cdot1^2-8=1-2-8=-9
При xin(-infty;-1]cup[0;1] функция убывает
При xin [-1;0]cup[1;+infty) функция возрастает

5.
Исследование функции на выпуклость/вогнутость:
f''(x)=12x^2-4
\
f''(x)=0:
\
12x^2-4=0
\
3x^2-1=0
\
x^2= frac{1}{3} 
\
x=pm  frac{ sqrt{3} }{3}
Точки перегиба: x=- frac{ sqrt{3} }{3} и
x= frac{ sqrt{3} }{3}
Ординаты этих точек: y=( frac{1}{3} )^2-2cdot  frac{1}{3} -8= frac{1}{9} -  frac{2}{3} -8= frac{1}{9} -  frac{6}{9} -8=-  frac{5}{9} -8=-8 frac{5}{9}
При xin(-infty; -frac{ sqrt{3} }{3}]cup[frac{ sqrt{3} }{3};+infty) функция выпукла
При
xin [- frac{ sqrt{3} }{3}; frac{ sqrt{3} }{3}] функция вогнута

6.
Построение графика:
Имеющиеся точки: (2; 0); (-2; 0); (0; -8); (-1; -9); (1; -9); (- frac{ sqrt{3} }{3}; -8 frac{5}{9}); ( frac{ sqrt{3} }{3}; -8 frac{5}{9})
Просчитаем еще две точки:
f(- frac{3}{2} )=f( frac{3}{2} )=( frac{3}{2} )^4-2cdot ( frac{3}{2} )^2-8=
 frac{81}{16} -2cdot  frac{9}{4} -8=
\
= frac{81}{16} - frac{18}{4} -8=frac{81}{16} - frac{72}{16} - frac{128}{16} =
- frac{119}{16} =-7 frac{7}{16}
Достаточно построить график в правой полуплоскости и отобразить его в левую, так как функция четная
Приложения:
Похожие вопросы
Предмет: Математика, автор: dopelkahd1111
Предмет: Английский язык, автор: egor1942fan
Предмет: Биология, автор: RoMaN234589