Question

Вычислите площадь фигуры , ограниченной линиями
y= x^2 -6x+5, y=5-x

Answer 1

Площадь фигуры, ограниченная заданными линиями, равна определённому интегралу разности функций с пределами точек их пересечения. Для того, чтобы найти эти точки, приравняем функции:
$x^2-6x+5=5-x,\x^2-5x=0,\x(x-5)=0,\x_1=0,\x_2=5.\\ S=intlimits^5_0 {left(5-x-left(x^2-6x+5right)right)} , dx= intlimits^5_0 {left(5-x-x^2+6x-5right)right)} , dx \\=intlimits^5_0 {left(5x-x^2right)right)} , dx =intlimits^5_0 {5xright)} , dx +intlimits^5_0 {-x^2} , dx =5intlimits^5_0 {xright)} , dx -intlimits^5_0 {x^2} , dx= \\=5cdotfrac{x^2}{2}left|^5_0-frac{x^3}{3}left|^5_0=frac{5}{2}x^2left|^5_0-frac{1}{3}x^3left|^5_0=$
$=frac{5}{2}left(5^2-0^2right)-frac{1}{3}left(5^3-0^3right)=frac{5}{2}cdot25-frac{1}{3}cdot125=frac{5cdot25}{2}-frac{125}{3}=\\frac{125}{2}-frac{125}{3}=frac{125cdot3-125cdot2}{2cdot3}=frac{375-250}{6}=frac{125}{6}=20frac{5}{6}.$

$OTBET: S=20frac{5}{6}$ квадратных единиц.