Question

Пожалуйста решите уравнение|x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2|=x+2

Answer 1

Поначалу решим подмодульные уравнения:

$1. x+1=0Rightarrow x=-1\2.x=0\3.x-1=0 Rightarrow x=1 \4.x-2=0 Rightarrow x=2$

Отметим решения на координатной прямой. Теперь, для каждого из подмодульных выражений, найдем знак на интервале:
$(-infty,-1] \1.x+1Rightarrow - \2. xRightarrow - \3.x-1 Rightarrow - \4.x-2 Rightarrow-$

$[-1,0] \1. x+1 Rightarrow + \2. x Rightarrow- \3.x-1 Rightarrow - \4.x-2 Rightarrow -$

$[0,1] \1. x+1 Rightarrow + \2.x Rightarrow + \3. x-1 Rightarrow - \4. x-2 Rightarrow -$

$[1,2] \1. x+1 Rightarrow + \2.x Rightarrow + \3.x-1 Rightarrow+ \4.x-2 Rightarrow -$

$[2,+infty) \1. x+1 Rightarrow + \2. x Rightarrow + \3. x-1 Rightarrow + \4. x-2 Rightarrow +$

Теперь, следуя по порядку, раскрываем выражения со знаком, которые они имеют на данном интервале (1. означает что выбран первый интервал и т.д.)
1.
$-(x+1)+x-3(x-1)+2(x-2)=x+2 \Rightarrow -x-1+x-3x+3+2x-4=x+2\Rightarrow -2-x=x+2 Rightarrow 2x=-4 Rightarrow x=-2$
Проверяем корень и узнаем что он подходит. Значит записываем его.
2.
$x+1+x-3(x-1)+2(x-2)=x+2 \Rightarrow 2x+1-3x+3+2x-4=x+2 Rightarrow \x=x+2 Rightarrow 0=2$
Нет решений
3.
$x+1-x-3(x-1)+2(x-2)=x+2 \Rightarrow1-3x+3+2x-4=x+2 Rightarrow \-x=x+2 Rightarrow 2x=-2 Rightarrow x=-1$
Проверяем корень, и видим что он не подходит

4.
$x+1-x+3(x-1)+2(x-2)=x+2 Rightarrow\1+3x-3+2x-4=x+2 Rightarrow 5x-6=x+2 Rightarrow\4x=8 Rightarrow x=2$

Проверяем корень, и видим что он подходит.

5.
$x+1-x+3(x-1)-2(x-2)=x+2\Rightarrow 1+3x-3-2x+4=x+2 Rightarrow x+2=x+2 Rightarrow 0=0$

Значит на 5 интервале, бесконечно много решений.

Отсюда :
$x=-2,xin [2,+infty)$