Question

1) tg(x+2)=0; 2) 2ctg² x + 3ctg x - 2=0; 3)1+ctg4x=0.

Answer 1

$1)~ tg(x+2)=0;\\ \\ x+2= \pi n,n \in \mathbb{Z}\\ \\ x=-2+ \pi n,n \in \mathbb{Z}\\ \\ 2)~ 2ctg^2x+3ctgx-2=0$

Решим это уравнение как квадратное уравнение относительно ctg x:

$D=b^2-4ac=3^2-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25$

$ctgx= \dfrac{-3+5}{2\cdot2} =0.5;~~~\Rightarrow~~~~ x_1=arcctg0.5+ \pi n,n \in \mathbb{Z}\\ \\ ctgx= \dfrac{-3-5}{2\cdot2} =-2;~~~\Rightarrow~~~~ x_2= \pi -arcctg(2)+ \pi n,n \in \mathbb{Z}$

$1+ctg4x=0\\ \\ ctg4x=-1\\ \\ 4x= \dfrac{3 \pi }{4} + \pi n,n \in \mathbb{Z}~~~|:4\\ \\ x=\dfrac{3 \pi }{16}+ \dfrac{\pi n}{4},n \in \mathbb{Z}$