Question

Доказать, что 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... + 1/(2 в n-ой) < 1.

 

Объясните, пожалуйста, подробно (8 класс).

Answer 1

Это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. У нее есть формула для вычисления.

 

$<var>S=\frac{b_1}{1-q}\quad(1)</var>$

 

Здесь $<var>b_1</var>$ - первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии. В данном случае он равен 0,5.

 

q - знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии. В данном случае он равен отношению каждого последующего члена прогрессии к предыдущему члену.

 

$<var>q=\frac{b_2}{b_1}</var>$

 

$<var>q=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}</var>$

 

$<var>q=\frac{1}{4}*2</var>$

 

$<var>q=\frac{1}{2}</var>$

 

Подставим в формулу (1) все значения.

 

$<var>S=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}</var>$

 

$<var>S=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}</var>$

 

S=1.

 

В данном случае n - какое-то конечное число, а сумма взята в случае $<var>n \to \infty</var>$.

 

То есть при любом конечном n, данная сумма всегда будет меньше 1.