Question

Сумма чисел от 20 до 2001

Answer 1

Все числа от 1 до 2001 разобьем на десятки: два неполных, в первый из которых входят числа от 1 до 9, а во второй - числа 2000 и 2001, и 199 полных десятков - от 10 до 19, от 20 до 29, ... , от 1990 до 1999. В неполных десятках имеется лишь одно число с суммой цифр, делящейся на 5 (непосредственно проверяется). Каждый из полных десятков содержит по два таких числа. Докажем это. Обозначим через r остаток от деления на 5 суммы цифр первого числа некоторого полного десятка. Если r = 0, то в этом десятке первое (оканчивающееся на 0) и 6-е (оканчивающееся на 5) числа имеют сумму цифр, делящуюся на 5. Если r=1, то такие числа - пятое (оканчивающееся на 4) и десятое (оканчивающееся на 9). Если r равно 2, 3 или 4, то также находятся каждый раз два таких числа (при r=2 - это числа 4-е и 9-е, при r=3 - 3-е и 8-е, при r=4 - 2-е и 7-е). Других случаев нет. Окончательно, получаем ответ: 1+2*199=399.