Question

Помогіте
Доведіть (а+2)(b+6)(c+3)>48√abc

Answer 1

Докажем сначала неравенство:
$frac{x+y}{2} geq sqrt{xy}$ - выполняется, если $x geq 0$ и $y geq 0$

$x+y geq 2 sqrt{xy}$
при указанных условиях на x и у:
$( sqrt{x})^2+( sqrt{y} )^2 geq 2 sqrt{xy}$
$( sqrt{x})^2+2 sqrt{xy} +( sqrt{y} )^2 geq 0$
$( sqrt{x})^2+2* (sqrt{x})*( sqrt{y} ) +( sqrt{y} )^2 geq 0$
$( sqrt{x} - sqrt{y} )^2 geq 0$
получили правдивое неравенство путем эквивалентных переходов, значит и исходное было правдивым

используем в нашем неравенстве доказанное:
$a+2 geq 2 sqrt{a*2}$
$b+6 geq 2 sqrt{a*6}$
$c+3 geq 2 sqrt{c*3}$

т.е. $(a+2)(b+6)(c+3) geq 2 sqrt{2a}* 2sqrt{6a}* 2sqrt{3c} =8* sqrt{2*6*3*abc}=$
$=8* sqrt{6^2*abc}= 8*6 sqrt{abc}= 48 sqrt{abc}$

Что и требовалось доказать.
Отметим, что равенство будет достигаться в случае когда выполняется условие:
$a=2$ и $b=6$ и $c=3$