Question

Основанием пирамиды MABCD является квадрат ABCD, ребро MD перпендикулярно к плоскости основания, AD = DM = 2. Найдите площадь поверхности пирамиды и ее объем

Answer 1

Дано: AD=DM=2, MABCD-пирамида, ABCD - квадрат

Найти: S(поверхности)-?, V-?

Решение:

Для начала найдем объем. Общая формула V=1/3*S*h

h - высота, и это у нас DM, как видно на рисунке

S - площадь основания. площадь квадрата a^2, т.е. в нашем случае AD^2

$<var>V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}AD^2*DM\\ AD=DM\\ V=\frac{1}{3}AD^3=\frac{1}{3}2^3=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}</var>$

 

С площадью поверхности все сложнее

Она складывается из площади основания, площади треуг. MAB, площади треуг. MBC, площади треуг. MCD и площади треуг. MDA.

 

$<var>S=S_{ABCD}+S_{MAB}+S_{MBC}+S_{MCD}+S_{MDA}</var>$

при этом заметим, что треугольники MDA и MCD равны, а также треугольнки MAB и MBC тоже равны, поэтому:

$<var>S=S_{ABCD}+2S_{MBA}+2S_{MDA}</var>$

 

площадь основания, как и говорилось раньше, находится легко:

$<var>S_{ABCD}=AD^2=2^2=4</var>$

 

площадь треугольника MAB тоже довольно легко находится.

т.к. DM перпендикулярен DC, то и MA перпендикулярен AB

Это прямоугольный треугольник

Найдем AM, а затем сможем найти и площадь MBA

$<var>MA=\sqrt{2AD^2}=AD\sqrt2=2\sqrt2</var>$

Площадь треугольника MBA

$<var>S_{MBA}=\frac{MA*AB}{2}=\frac{2\sqrt2*2}{2}=2\sqrt2</var>$

Площадь треугольника MDA находится ещё легче, прямоугольный теругольник, два катета известно:

$<var>S_{MDA}=\frac{AD*DM}{2}=\frac{2*2}{2}=2</var>$

 

$<var>S=S_{ABCD}+2S_{MBA}+2S_{MDA}=2+2*2\sqrt2+2*2=6+4\sqrt2</var>$

 

Ответ: 6+4√2