Question

Решите иррациональные уравнения с решением, заранее благодарен:
1)x-Sqrt[25-x^2]=1
2)Sqrt[x-1]-Sqrt[2x-9]=-1
3)x+Sqrt[x+1]=11
4)2-Sqrt[5x]+Sqrt[2x-1]=0
5)Sqrt[2+Sqrt[x-5]]=Sqrt[13-x]
6)Sqrt[x-3]*Sqrt[2x+2]=x+1

Answer 1

1)
$x- sqrt{25-x^2}=1 \ - sqrt{25-x^2}=1-x \ sqrt{25-x^2}=x-1$

ОДЗ: 
a) 25-x²≥0
    x²-25≤0
    (x-5)(x+5)≤0
    x=5      x= -5
      +               -                   +
--------- -5 ------------ 5 --------------
                \\\\\\\
    x∈[-5; 5]
b) x-1≥0
    x≥1
В итоге ОДЗ: x∈[1; 5]

25-x²=(x-1)²
25-x²=x²-2x+1
-x²-x²+2x+25-1=0
-2x²+2x+24=0
x²-x-12=0
D=(-1)² -4*(-12)=1+48=49=7²
x₁=(1-7)/2= -3 - не подходит по ОДЗ.
x₂=(1+7)/2=4
Ответ: 4.

2)
$sqrt{x-1}- sqrt{2x-9}= -1$

ОДЗ:
а) x-1≥0
    x≥1
b) 2x-9≥0
    2x≥9
    x≥4.5
В итоге ОДЗ: x∈[4.5; +∞)

$( sqrt{x-1}- sqrt{2x-9} )^2=(-1)^2 \ x-1-2 sqrt{(x-1)(2x-9)}+2x-9=1 \ -2 sqrt{2x^2-2x-9x+9}=-3x+11 \ 2 sqrt{2x^2-11x+9}=3x-11 \ (2 sqrt{2x^2-11x+9} )^2=(3x-11)^2 \ 4(2x^2-11x+9)=9x^2-66x+121 \ 8x^2-44x+36=9x^2-66x+121 \ 8x^2-9x^2-44x+ 66x+36-121=0 \ -x^2+22x-85=0 \ x^2-22x+85=0 \ D=(-22)^2-4*85= 484-340=144=12^2 \ x_{1}= frac{22-12}{2}=5 \ x_{2}= frac{22+12}{2}=17$

Проверка корней:
а) x=5
$sqrt{5-1}- sqrt{2*5-9}= sqrt{4}- sqrt{1}=2-1=1 \ 1 neq -1$
х=5 - не корень уравнения
 
b) x=17
$sqrt{17-1}- sqrt{2*17-9}= sqrt{16}- sqrt{25}=4-5=-1 \ -1=-1$
x=17 - корень уравнения.
Ответ: 17.

3)
$x+ sqrt{x+1}=11 \ sqrt{x+1}=11-x$

ОДЗ:
a) x+1≥0
    x≥ -1
b) 11-x≥0
     -x≥ -11
      x≤11
В итоге ОДЗ: х∈[-1; 11]

x+1=(11-x)²
x+1=121-22x+x²
-x²+x+22x+1-121=0
-x²+23x-120=0
x²-23x+120=0
D=(-23)² -4*120=529-480=49=7²
x₁=(23-7)/2=8
x₂=(23+7)/=15 - не подходит по ОДЗ.
Ответ: 8.

4)
$2- sqrt{5x}+ sqrt{2x-1}=0$

ОДЗ: 
a) 5x≥0
x≥0

b) 2x-1≥0
    2x≥1
    x≥0.5
В итоге ОДЗ: х∈[0.5; +∞)

$sqrt{2x-1}- sqrt{5x}=-2 \ ( sqrt{2x-1}- sqrt{5x} )^2=(-2)^2 \ 2x-1-2 sqrt{5x(2x-1)}+5x=4 \ 7x-1-2 sqrt{5x(2x-1)}=4 \ -2 sqrt{5x(2x-1)}=-7x+4+1 \ -2 sqrt{10x^2-5x}=-7x+5 \ (2 sqrt{10x^2-5x})^2=(7x-5)^2 \ 4(10x^2-5x)=49x^2-70x+25 \ 40x^2-20x-49x^2+70x-25=0 \ -9x^2+50x-25=0 \ 9x^2-50x+25=0 \ D=(-50)^2-4*9*25=2500-900=1600=40^2 \ x_{1}= frac{50-40}{9*2}= frac{10}{18}= frac{5}{9} \ x_{2}= frac{50+40}{18}=5$

Проверка корней:
х=⁵/₉
$2- sqrt{5* frac{5}{9} }+ sqrt{2* frac{5}{9}-1 }=2- frac{5}{3}+ frac{1}{3}= frac{6-5+1}{3}= frac{2}{3} \ \ frac{2}{3} neq 0$
x=⁵/₉ - не корень уравнения

х=5
$2- sqrt{5*5}+ sqrt{2*5-1}=2-5+3=0 \ 0=0$
Ответ: 5.

5)
$sqrt{2+ sqrt{x-5} }= sqrt{13-x} \ (2+ sqrt{x-5} )^2=( sqrt{13-x} )^2 \ 2+ sqrt{x-5}=13-x \ sqrt{x-5}=13-2-x \ x-5=(11-x)^2 \ x-5=121-22x+x^2 \ -x^2+x+22x-5-121=0 \ -x^2+23x-126=0 \ x^2-23x+126=0 \ D=(-23)^2-4*126= 529-504=25=5^2 \ x_{1}= frac{23-5}{2}=9 \ x_{2}= frac{23+5}{2}=14$

Проверка корней:
х=9
$sqrt{2+ sqrt{9-5} }= sqrt{13-9} \ sqrt{2+2}= sqrt{4} \ 2=2$
x=9 - корень уравнения

х=14
$sqrt{2+ sqrt{14-5} }= sqrt{13-14} \ sqrt{13-14}= sqrt{-1}$
не имеет смысла.
х=14 - не корень уравнения.
Ответ: 9.

6)
$sqrt{x-3}* sqrt{2x+2}=x+1 \ sqrt{(x-3)(2x+2)}=x+1 \ sqrt{2x^2-6x+2x-6}=x+1 \ sqrt{2x^2-4x-6}=x+1 \ 2x^2-4x-6=(x+1)^2 \ 2x^2-4x-6=x^2+2x+1 \ 2x^2-x^2-4x-2x-6-1=0 \ x^2-6x-7=0 \ D=(-6)^2-4*(-7)=36+28=64=8^2 \ x_{1}= frac{6-8}{2}=-1 \ x_{2}= frac{6+8}{2}=7$

Проверка корней:
x= -1
$sqrt{-1-3}= sqrt{-4}$
не имеет смысла
х= -1 - не корень уравнения

х=7
$sqrt{7-3}* sqrt{2*7+2}=7+1 \ sqrt{4}* sqrt{16}=8 \ 2*4=8 \ 8=8$

Ответ: 7.