Question

15 задание , неравенство решите пожалуйста подробно , дам много балов .

Answer 1

$displaystyle frac{Log_{(2-x)}(x+3)*Log_{(x+5)}(6-x)}{Log_x5x} leq 0$

ОДЗ: 

x+3>0; x>-3
6-x>0; x<6
5x>0; x>0
x≠1 x≠1
2-x>0; x<2
2-x≠1; x≠1  
x+5>0; x>-5
x+5≠1; x≠-4 
log(x) 5x≠0; 5x≠1; x≠1/5
 ОДЗ: (0;1/5)(1/5;1)(1;2)

Приведем к одному знаменателю. Мы можем это сделать по ОДЗ

$displaystyle (frac{Log_x(x+3)}{Log_x(2-x)}* frac{Log_x(6-x)}{Log_x(x+5)}):Log_x5x leq 0$

$displaystyle frac{Log_x(x+3)*Log_x(6-x)}{Log_x(2-x)*Log_x(x+5)*Log_x5x} leq 0$

Рассмотрим знаки каждой функции на промежутках

1) $y=Log_x(x+3)$

__-_____-____+___
0       1/5      1      2

2) $y=Log_x(6-x)$

__-_____-____+___
0       1/5      1      2

3) $y=Log_x(2-x)$
_-_____-____-___
0       1/5      1      2

4) $y=Log_x(x+5)$

_-_____-____+___
0       1/5      1      2

5) $y= Log_x5x$

__+____-____+___
0       1/5      1      2

Теперь  проведем анализ: 

1) 0<x<1/5  

$displaystyle frac{Log_x(x+3)*Log_x(6-x)}{Log_x(2-x)*Log_x(x+5)*Log_x5x} geq 0$ 

так как основание меньше единицы
  
  -   *    -
--------------≥0
  - * - *+ 
 подходит

2) 1/5<x<1 

$displaystyle frac{Log_x(x+3)*Log_x(6-x)}{Log_x(2-x)*Log_x(x+5)*Log_x5x} geq 0$

так как основание меньше единицы
  
  -   *    -
--------------≤0
  - * - *- 
  не подходит

3) 1<x<2

$displaystyle frac{Log_x(x+3)*Log_x(6-x)}{Log_x(2-x)*Log_x(x+5)*Log_x5x} leq 0$

 +   *   +
--------------≤0
  - * + *+

подходит

Ответ: (0; 1/5)(1;2)