Question

Нужно вычислить интегралы

Answer 1

$1); ; int frac{cos2x}{cos^2xsin^2x} dx=int frac{cos2x}{(frac{1}{2}sin2x)^2} dx=int frac{4cos2x}{sin^22x} dx=\\=[; t=sin2x,; dt=2cos2x, dx; ]=2int frac{dt}{t^2} =2cdot frac{t^{-1}}{-1}+C=\\=-frac{2}{sin2x}+C\\2); ; int frac{x^2}{x^2+1}dx=int frac{(x^2+1)-1}{x^2+1}dx=int (1-frac{1}{x^2+1})dx=\\=int dx-int frac{dx}{x^2+1}=x-arctgx+C\\3); ; int ( frac{1}{x} + frac{1}{x^2} + frac{1}{x^4} )dx=int ( frac{1}{x} +x^{-2}+x^{-4})dx=$

 $=ln|x|+frac{x^{-1}}{-1}+frac{x^{-3}}{-3}=$ $ln|x|-frac{1}{x}-frac{1}{3x^3}+C$

$4); ; int (frac{1}{sqrt{x}}-frac{1}{sqrt[4]{x^3}})dx=int frac{dx}{sqrt{x}}-int x^{-frac{3}{4}}dx=2sqrt{x}-frac{x^{frac{1}{4}}}{frac{1}{4}}+C=\\=2sqrt{x}-frac{4}{sqrt[4]{x}}+C$