Question

интеграл 3х√х dx помогитее

Answer 1

Можно решить двумя способами.
1. представить √x в виде степени, т.е. $x^{ frac{1}{2} }$, тогда подынтегральная функция примет вид:
$intlimits {3x*x^{ frac{1}{2} }} , dx= intlimits {3x^{ frac{3}{2} }} , dx$
Интеграл от произведения функции на константу есть произведение этой константы на интеграл от данной функции:
$intlimits {3x^{ frac{3}{2} }} , dx=3 intlimits {x^{ frac{3}{2} }} , dx$
Интеграл $intlimits {x^{n}} , dx= frac{x^{n+1}}{n+1}$
$intlimits{x^{ frac{3}{2} }} , dx= frac{x^{ frac{3}{2}+1 }}{ frac{3}{2}+1 }= frac{x^{ frac{5}{2} }}{ frac{5}{2} }= frac{2x^{ frac{5}{2} }}{5}+C$
Подставляем в наш исходный интеграл
$intlimits {3x sqrt{x} } , dx =3 intlimits {x^{ frac{3}{2} }} , dx =3* frac{2x^{ frac{5}{2} }}{5}= frac{6x^{ frac{5}{2} }}{5} +C$

2. Введём замену переменной
u=√x
тогда $du= frac{dx}{2 sqrt{x} }$
отсюда $dx=2 sqrt{x} *du=2u*du$
Подставляем
$intlimits{3*u^2*u*2u} , du = 3intlimits {u^4} , du =6 frac{u^5}{5}+C$
Выполняем обратную замену
$frac{6u^5}{5}+C= frac{6x^{ frac{5}{2} }}{5} +C$