Question

Решить методом интегрирования по частям:1)∫sin³xdx
2)∫ln²x/x²dx
3)∫x²sin2xdx

Answer 1

1) Этот пример не имеет смысла решать интегрируя частями

$intlimits {sin^3(x)} , dx = intlimits {sin^2(x)} , d(-cos(x))=- intlimits {(1-cos^2(x))} , d(cos(x))=$
$=- intlimits { , d(cos(x))+ intlimits {cos^2(x)} , d(cos(x)) =-cos(x)+ frac{cos^3(x)}{3}+C$

2) 
$intlimits { frac{ln^2(x)}{x^2} } , dx = intlimits {ln^2(x)} , d(- frac{1}{x} ) = ln^2(x)*(- frac{1}{x} ) - intlimits {(- frac{1}{x} )} , d(ln^2(x)) =$
$= ln^2(x)*(- frac{1}{x} ) + intlimits { frac{1}{x}*2*ln(x)* frac{1}{x} } , dx =$
$= - frac{ln^2(x)}{x} +2 intlimits {ln(x)} , d(- frac{1}{x} ) =$
$= - frac{ln^2(x)}{x} +2[ln(x)*(- frac{1}{x} )- intlimits {(- frac{1}{x} )} , d(ln(x))] =$
$= - frac{ln^2(x)}{x} - frac{2ln(x)}{x}+ 2intlimits { frac{1}{x} * frac{1}{x} } , dx =$
$= - frac{ln^2(x)}{x} - frac{2ln(x)}{x}+ 2intlimits {x^{-2} } , dx = - frac{ln^2(x)}{x} - frac{2ln(x)}{x}+ 2*frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C =$
$= - frac{ln^2(x)}{x} - frac{2ln(x)}{x}-frac{2}{x}+C =- frac{ln^2(x)+2ln(x)+2}{x}+C=$

3)
$intlimits {x^2sin(2x)} , dx = intlimits {x^2} , d( -frac{cos(2x)}{2} ) = -frac{x^2cos(2x)}{2}+ frac{1}{2} intlimits {cos(2x)} , d(x^2) =$
$= -frac{x^2cos(2x)}{2}+ intlimits {xcos(2x)} , dx = -frac{x^2cos(2x)}{2}+ frac{1}{2} intlimits {x} , d(sin(2x)) =$
$= -frac{x^2cos(2x)}{2}+ frac{1}{2}[xsin(2x)- intlimits {sin(2x)} , dx] =$
$= -frac{x^2cos(2x)}{2}+ frac{xsin(2x)}{2}- frac{1}{4}* intlimits {sin(2x)} , d(2x) =$
$= -frac{x^2cos(2x)}{2}+ frac{xsin(2x)}{2}+ frac{1}{4}*cos(2x)+C=$
$= frac{1-2x^2}{4}*cos(2x)+ frac{x}{2}*sin(2x)+C$

Answer 2

ответы проверил в wolframalpha