Question

ДЛя функции y=f(x) найдите первообразную F(x), график которой проходит через точку М (a; b) , и постройте график функции F(x):

9) 1. f(x) = 2x+3, M(1;2);
2) f(x) = 3x^2 - 2 , M(2;4);
3) f(x) = 1 + sinx, M(0;1);
4) f(x) = 3cosx - 2, M(Пи/ 2; - 1).

10) 1) f(x) = 1 / sin^2 (Пи / 2 + х) , M(- Пи / 4 ; - 1 );
2) f(x) = 1 / cos^2 (3Пи / 2 - х ) , М (5Пи/ 6 ; корень из 3).

11. Найдите общий вид первообразных для функции:
1) f(x) = (x-1)^3 ;
2) f(x) = (1-2x)^2 ;
3) f(x) = 1 / 2 корень из x + 11x ^10 ;
4) f(x) = 1 / x^2 + 12x^8.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Первообразная функции - это такое выражение, производная которого равна исходной функции.

$f(x)=2x+3;$

Первообразная: $F(x)=int(2x+3)dx=x^2+3x+C$

Подставим координаты точки М в общий вид первообразной.

$2=1^2+3cdot1+C\ C=-2$

Искомая первообразная: $boxed{F(x)=x^2+3x-2}$

$f(x)=3x^2-2;$

Первообразная: $F(x)=int(3x^2-2)=x^3-2x+C$

Подставим координаты точки М в общий вид первообразной.

$4=2^3-2cdot2+C\ C=0$

Искомая первообразная: $boxed{F(x)=x^3-2x}$

$f(x)=1+sin x;$

Первообразная: $F(x)=int(1+sin x)dx=x-cos x+C$

Подставим координаты точки М в общий вид первообразной.

$1=0-cos0+C\ C=2$

Искомая первообразная: $boxed{F(x)=x-cos x+2}$

$f(x)=3cos x-2;$

Первообразная: $F(x)=int(3cos x-2)=3sin x-2x+C$

Подставим координаты точки М в общий вид первообразной.

$-1=3sinfrac{pi}{2}-2cdotfrac{pi}{2}+C\ C=-4+pi$

Искомая первообразная: $boxed{F(x)=3sin x-2x-4+pi}$

$f(x)=dfrac{1}{sin^2(frac{pi}{2}+x)}=dfrac{1}{cos^2 x}$

Первообразная: $F(x)=displaystyle intdfrac{dx}{cos^2 x}={rm tg}x+C$

Подставим координаты точки М в общий вид первообразной.

$-1={rm tg}(-frac{pi}{4})+C\ -1=-1+C\ C=0$

Искомая первообразная: $boxed{F(x)={rm tg}x}$

$f(x)=dfrac{1}{cos^2(frac{3pi}{2}-x)}=dfrac{1}{sin^2 x}$

Первообразная: $F(x)=displaystyle int dfrac{dx}{sin^2 x}=-{rm ctg}x+C$

Подставим координаты точки М в общий вид первообразной.

$sqrt{3}={rm ctg}frac{5pi}{6}+C\ sqrt{3}=-sqrt{3}+C\ C=2sqrt{3}$

Искомая первообразная: $boxed{F(x)=-{rm ctg}x+2sqrt{3}}$

$f(x)=(x-1)^3$

Общий вид первообразной: $F(x)=int(x-1)^3dx=dfrac{(x-1)^4}{4}+C$

$f(x)=(1-2x)^2=1-4x+4x^2$

Общий вид первообразной: $F(x)=int dx-4int xdx+4int x^2dx=x-2x^2+dfrac{4x^3}{3}+C$

$f(x)=dfrac{1}{2sqrt{x}}+11x^{10}$

Общий вид первообразной:$F(x)=sqrt{x}+11cdot dfrac{x^{11}}{11}+C=sqrt{x}+x^{11}+C$

$f(x)=dfrac{1}{x^2}+12x^8$

Общий вид первообразной:$F(x)=displaystyle intbigg(dfrac{1}{x^2}+12x^8bigg)dx=-dfrac{1}{x}+12cdot dfrac{x^9}{9}+C=-dfrac{1}{x}+dfrac{4x^9}{3}+C$