Question

Найти определитель матрицы сведением к треугольному виду (с подробным объяснением)
$begin{bmatrix} 2 &1 &1 &1 &1 \ 1& 3 &1 &1 &1 \ 1& 1& 4& 1& 1& \ 1& 1& 1& 5& 1& \ 1& 1& 1& 1& 6 end{bmatrix}$

Answer 1

Преобразуем матрицу
$left[begin{array}{ccccc}2&1&1&1&1\1&3&1&1&1\1&1&4&1&1\1&1&1&5&1\1&1&1&1&6end{array}right]$
к верхнетреугольному виду (нули ниже главной диагонали). Тогда определитель такой матрицы будет равен произведению элементов главной диагонали.
Переставим местами 1-ю и 2-ю строки, чтобы получить $a_{1,1}=1$ (для упрощения подсчёта в дальнейшем). По правилам перестановки определитель сменит знак.
$det=-left[begin{array}{ccccc}1&3&1&1&1\2&1&1&1&1\1&1&4&1&1\1&1&1&5&1\1&1&1&1&6end{array}right]$
Занулим элементы первого столбца, начиная с a2,1 (чтобы сделать нули ниже диагонали). Для этого будем поочерёдно складывать строки 2, 3, 4, 5 с первой, домножая её на необходимый коэффициент для зануления первого элемента столбца. Результат сложения будем помещать на место соответствующей строки, так как по правилам определитель не изменяется, если к строке/столбцу прибавить др. строку/столбец, домноженные на некоторое число:
2-я строка = 2-я строка + 1-я строка * (-2).
3-я строка = 3-я строка + 1-я строка * (-1).
4-я строка = 4-я строка + 1-я строка * (-1).
5-я строка = 5-я строка + 1-я строка * (-1).
В результате получим:
$det=-left[begin{array}{ccccc}1&3&1&1&1\0&-5&-1&-1&-1\0&-2&3&0&0\0&-2&0&4&0\0&-2&0&0&5end{array}right]$
Переставим местами 2-й и 5-й столбцы, чтобы упростить подсчёты (можно этого и не далать, высчитывая и так). По правилам перестановки определитель сменит знак.
$det=left[begin{array}{ccccc}1&1&1&1&3\0&-1&-1&-1&-5\0&0&3&0&-2\0&0&0&4&-2\0&5&0&0&-2end{array}right]$
Аналогично занулим второй столбец ниже главной диагонали (начиная с а3,2). Так как в строках 3 и 4 уже нули, то займёмся 5-й строкой:
5-я строка = 5-я строка + 2-я строка * 5.
В результате получим:
$det=left[begin{array}{ccccc}1&1&1&1&3\0&-1&-1&-1&-5\0&0&3&0&-2\0&0&0&4&-2\0&0&-5&-5&-27end{array}right]$
Аналогично занулим 3-й столбец ниже главной диагонали:
5-я строка = 5-я строка + 3-я строка * 5/3.
В результате получим:
$det=left[begin{array}{ccccc}1&1&1&1&3\0&-1&-1&-1&-5\0&0&3&0&-2\0&0&0&4&-2\0&0&0&-5&-91/3end{array}right]$
Занулим последний элемент в 4-м столбце.
5-я строка = 5-я строка + 4-я строка * 5/4.
В результате получим:
$det=left[begin{array}{ccccc}1&1&1&1&3\0&-1&-1&-1&-5\0&0&3&0&-2\0&0&0&4&-2\0&0&0&0&-197/6end{array}right]$
Верхнетреугольный вид получен. Считаем определитель:
det=1*(-1)*3*4*(-197/6)=394.