Question

Помогите решить задания 10 класс. Учитель сказал нужно решить через прогрессию.

0,(7) И 3,(18)

Answer 1

0,(7)  =  0,7777777... =  0,7 + 0,007 + 0,0007 + 0,00007 + ..... 
Очевидно, что слагаемые  в  сумме составляют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию  с первым членом  0,7  и знаменателем 0,1.

Тогда по формуле нахождения суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии:
$S = frac{ b_{1} }{1-q} = frac{0,7}{1-0,1} = frac{0,7}{0,9} = frac{7}{9}$
$0,(7) =frac{7}{9}$

3,(18) = 3 + 0,(18) = 3 + 0,18 + 0,0018 + 0,000018 + 0,00000018 + ...
Слагаемые  в  сумме, начиная со второго слагаемого, составляют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию  с первым членом  0,18  и знаменателем 0,01.

Тогда по формуле нахождения суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии:
$S = frac{ b_{1} }{1-q} = frac{0,18}{1-0,01} = frac{0,18}{0,99} = frac{18}{99} = frac{2}{11}$
$3,(18) = 3+frac{2}{11} = 3frac{2}{11}$