Предмет: Алгебра, автор: Julia0fox

Решить тригонометрическое уравнение
tg^3 x+ctg^3 x+tg^2 x+ctg^2 x =0

Ответы

Автор ответа: 90misha90
0
tg^3 x+ctg^3 x+tg^2 x+ctg^2 x =0
tg^3 x+ frac{1}{tg^3x} +tg^2 x+ frac{1}{tg^2x}  =0
Замена: tg^2x=t neq 0
t^3+ frac{1}{t^3} +t^2+ frac{1}{t^2} =0,t neq 0
 frac{t^6+t^5+t+1}{t^3} =0,t neq 0
t^6+t^5+t+1=0,t neq 0

Если целые корни есть, то это либо 1 либо -1 (теорема Безу и все что с ней связано)
 frac{t^6+t^5+t+1}{t-1} =t^5+1
 frac{t^5+1}{t+1} =t^4-t^3+t^2-t+1
Смотреть деление в столбик

(t+1)^2(t^4-t^3+t^2-t+1)=0,t neq 0

Рассмотрим отдельно уравнение t^4-t^3+t^2-t+1=0
Оно возвратное! делим его на t^2, t=0 - не его корень
t^2+ frac{1}{t^2}-(t+ frac{1}{t} )+1=0
t^2+2*t* frac{1}{t}+  frac{1}{t^2}-2-(t+ frac{1}{t} )+1=0

(t+ frac{1}{t})^2-(t+ frac{1}{t} )-1=0
Откуда t+ frac{1}{t}= frac{1pm sqrt{5} }{2} 
откуда выходит два квадратных уравнение, и каждое из них не имеет действительных корней

tg(x)=-1, и sin(x) != 0, и cos(x) != 0

x = -Pi/4 + Pi*n, где n - множество действительных чисел (запрет для синуса и косинуса быть нулем не влияет на это множество)

Ответ: -Pi/4 + Pi*n, где n - множество действительных чисел 
Приложения:
Похожие вопросы
Предмет: Математика, автор: banu2019bb