Question

Решить (x+1)dx=(y-2)dy

Answer 1

xyx'=1+x^2
разрешим относительно старшей производной:
x'=(1+x^2)/xy
разделяем переменные:
x'=(1+x^2)/x * (1/y)
запишем x' в виде dx/dy:
dx/dy=(1+x^2)/x * (1/y)
Теперь сделаем так, чтоб слева остались только иксы, а слева игреки, т. е. разделим уравнение на (1+x^2)/x и умножим на y, получаем:
xdx/1+x^2=dy/y, ну и постоянное решение - x=0
Интегрируем обе части уравнения:
(в левой части x загоним под дифференциал и будем интегрировать по x^2)
1/2* ln(1+x^2)=ln|y| + lnС, здесь С можно записать как lnC, так как он будет всё равно пробегать все значения.
(1+x^2)^1/2=Cy,
Т. о. общее решение: y=((1+x^2)^1/2)/C, x=0