Question

Наименьшее целое решение неравенства х^3-3х^2-10х+24>0

Answer 1

Решим уравнение x³-3*x²-10*x+24=0. Это уравнение является приведённым (коэффициент при x³ равен 1), поэтому корни уравнения могут быть среди целых делителей его свободного члена. т.е. среди чисел +1,-1,+2,-2,+3,-3,+4,-4,+6,-6,+8,-8,+12,-12,+24,-24. Подставляя эти числа в уравнение, находим, что x=2 является корнем уравнение. Разделив многочлен x³-3*x²-10*x+2 на двучлен x-2, получаем равенство x³-3*x²-10*x+24=(x-2)*(x²-x-12). Решая квадратное уравнение x²-x-12=0, находим его корни x=4 и x=-3. Значит, x²-x-12=(x+3)*(x-4) и x³-3*x²-10*x+24=(x-2)*(x+3)*(x-4). При x<-3 это выражение меньше 0, при -3<x<2 - больше 0, при 2<x<4 - меньше 0 и при x>4 - больше 0. Значит, наименьшим целым решением неравенства является x=-2. Ответ: x=-2.