Question

Известно, что x+y=5,xy=3, найдите
4x^3y+4xy^3

Answer 1

Дана система $left { {{x+y=5} atop {xy=3}} right.$
Находим неизвестные способом подстановки.
Из первого уравнения у = х - 5 подставляем во второе:
х(5 -х) = 3,
5х - х² = 3.
Получаем квадратное уравнение х² - 5х + 3 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-5)^2-4*1*3=25-4*3=25-12=13;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√13-(-5))/(2*1)=(√13+5)/2=√13/2+5/2= (5 + √13) / 2 ≈ 4.302776;

x₂=(-√13-(-5))/(2*1)=(-√13+5)/2=-√13/2+5/2= (5 - √13) / 2 ≈ 0.697224.

Находим значения у:
$y= frac{3}{x} = frac{3*2}{5+ sqrt{13} } = frac{6*(5- sqrt{13}) }{(5+ sqrt{13})(5- sqrt{13}) } = frac{6*(5- sqrt{13}) }{25-13} = frac{5- sqrt{13} }{2} .$

То есть, значение х₂ равно значению у₁ и наоборот.

Преобразуем заданное выражение:
$4x^3y+4xy^3=4xy(x^2+y^2).$
Находим 4ху = 4*3 = 12.
$x^{2} + y^{2} = (frac{5+ sqrt{13} }{2} )^2+( frac{5- sqrt{13} }{2})^2=$
$= frac{25+10 sqrt{13}+13+25-10 sqrt{13}+13 }{4}= frac{76}{4}=19.$
Ответ: 4x^3y+4xy^3 = 12*19 = 228.