Question

Дан остроугольный треуугольник ABC. Пусть H — точка пересечения его высот, OO — центр описанной окружности, M — середина стороны BC, D — основание высоты, опущенной из вершины A. Оказалось, что четырехугольник HOMD является прямоугольником, причем HO=26, HD=6. Найдите BC.

Answer 1

Докажем, что AH=2OM. Через А, B, С проведем прямые параллельные BC, АС, АВ соответственно. Получившийся треугольник подобен исходному с коэффициентом подобия 2. Т.к. H - точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам, то H в нем - центр описанной окружнности..Т.к. сответствующие элементы подобных треугольников подобны, то AH=2OM=2HD. Отсюда AH=2*6=12. OB²=OA²=HO²+AH²=26²+12².
BM=√(OB²-OM²)=√(26²+12²-6²)=√784=28.
BC=2BM=28*2=56.