Question

Какие остатки могут получиться при делении квадрата натурального числа на 9?

Answer 1

Т.к. $(9k+n)^2=9(9k^2+2kn)+n^2=n^2pmod9$, поэтому достаточно рассмотреть только остатки от деления на 9 квадратов остатков 0, +-1, +-2, +-3, +-4.

$begin{array}{c|c} n&n^2pmod 9\ 0&0\ pm1&1\ pm2&4\ pm3&0\ pm4&7 end{array}$

 

Итак, все возможные остатки: 0, 1, 4, 7

Answer 2

Ну натуральные числа- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Теперь 

1. 1² / 9 = 0.1 остаток

2. 2²/9 = 4/9 = 0.4 остаток

3. 3²/9=нет остатка

4. 4²/9=7 остаток

5. 5²/9=1 остаток

6. 6²/9=нет остатка

7. 7²/9=4 остаток

8. 8²/9 = 1 остаток

9. 9²/9=нет остатка

 

Ну выводы сделаешь сам)))))))))))).