Question

Продолжаем. Ядро вылетает из пушки с начальной скоростью 200 м/с под углом 80 градусов к горизонту. Через какое время радиус-вектор, соединяющий пушку с ядром, будет перпендикулярен траектории снаряда? Сопр. пренебрегаем.

Answer 1

Можно делать задачу что называется "врукопашную", как предлагает польз. Эникей, а можно ее немного погипнотизировать и обнаружить, что на самом деле от нас хотят узнать, когда радиус-вектор становится перпендикулярным вектору скорости.
Так и напишем. В прямоугольных координатах:
$vec r= left(begin{array}{ccc}v_0tcosalpha\v_0tsinalpha-dfrac 12 gt^2end{array}right)$
$vec v= left(begin{array}{ccc}v_0cosalpha\v_0sinalpha-gtend{array}right)$
А мы хотим, чтобы эти два вектора были перпедикулярны, то есть, чтобы $vec rcdotvec vequiv r_xv_x+r_yv_y=0$
$v_0tcosalphacdot v_0cosalpha+(v_0tsinalpha-frac12gt^2)(v_0sinalpha-gt)=\ =v_0^2t-v_0gt^2sinalpha-frac12v_0gt^2sinalpha+frac12g^2t^3=\ =tleft(v_0^2-frac32v_0gtsinalpha+frac12g^2t^2right)=0$
Вариант с $t=0$ нам не очень интересен, но зато интересны корни квадратного уравнения $t^2-left(3dfrac{v_0}{g}sinalpharight) t+2dfrac{v_0^2}{g^2}=0.$
$boxed{t_pm=dfrac{v_0}{2g}left(3 sinalphapmsqrt{9sin^2alpha-8}right)}$
Если посчитать, там получается что-то типа 21 и 38 секунд соответственно. А, учитывая, что время полета составляет $T=dfrac{2v_0sinalpha}{g}=39$ секунд, оба корня подходят.

P.S. Кстати, нетрудно заметить, что для существования решений нужно, чтобы корень в ответе существовал: 
$alpha geq arcsinleft(dfrac{2sqrt2}{3}right)$

Answer 2

Ваше выражение для t удивительным образом совпадает с решением http://znanija.com/task/19204037, хотя задачи решаются несколько разные.

Answer 3

И еще. Позабавило "Можно делать задачу что называется "врукопашную",...". А Вы не "врукопашную", стало быть, сделали? Вектор скорости - он и есть производная от траектории. Так чем же Ваше решение отличается от того, что предложил "польз. Эникей", что Вы на этом акцент сделали?

Answer 4

Я подумал, вы буквально хотели писать семейство касательных, а потом брать чуть ли производную Ли вдоль этого семейства и полагать ее равной нулю. Теперь стало ясно, прошу прощения.

Answer 5

Так значит в двух точках вект скор нерп рад-вект? Что 21 и 38?