Question

сборник задач по физике под редакцией Савченко. задание 1.3.30* звучит так (дословно)

Снаряд вылетает из пушки со скоростью V под углом α к горизонту.
Какое время снаряд приближается к пушке ?

рассмотреть нужно достаточно большие углы (около 90 градусов) и из всей траектории только ту часть когда падающий снаряд ПРИБЛИЖАЕТСЯ к пушке.

1.считаю что задача красивая и должна остаться на сайте решенной.
2.решить задачу не могу потому что я автор вопроса )))

Answer 1

Если пренебречь сопротивлением воздуха и считать снаряд материальной точкой, то задача о движении снаряда, выпущенного из пушки под углом α к горизонту с начальной скоростью v, сводится к известной задаче о движении тела, брошенного под углом к горизонту.
Наложим на систему декартовы координаты, совместив их начало с пушкой и рассмотрим снаряд как материальную точку, участвующую одновременно в двух движениях - по оси х и оси y.
Тогда в некий момент времени t можно записать следующие уравнения для скорости точки:
$displaystyle v_x=vcosalpha \ v_y=vsinalpha-gt$
Уравнение перемещения точки по осям будет иметь вид
$displaystyle x=vtcosalpha \ y=vtsinalpha-frac{gt^2}{2}$
В любой точке М квадрат расстояния r² от начала координат до этой точки может быть найден по теореме Пифагора. Мы ищем квадрат, чтобы не заморачиваться извлечением квадратного корня, поскольку сама величина r нам не нужна.
$displaystyle L_M=r_M^2=x_M^2+y_M^2=(vtcosalpha)^2+left(vtsinalpha-frac{gt^2}{2}right)^2$
Чтобы определить области убывания функции L(t), нужно найти значения t при которых производная L'(t) будет отрицательной.
Упростим L(t), раскрыв скобки и используя основное тригонометрическое тождество, а затем найдем производную.
$displaystyle L(t)=t^2v^2-vt^3gsinalpha+frac{1}{4}g^2t^4 \ frac{dL}{dt}=2tv^2-3vt^2gsinalpha+g^2t^3=t(2v^2-3vtgsinalpha+g^2t^2)$
Осталось решить неравенство $displaystyle 2v^2-3vtgsinalpha+g^2t^2 textless 0$
Сначала определим точки, где левая часть обращается в ноль, а потом найдем необходимые интервалы. Получается квадратное уравнение относительно t; его решение тривиально и приводить я его не буду.
Получаем два корня,которые можно записать одним выражением:
$displaystyle frac{v}{2g}left(3sinalphapmsqrt{1-9cos^2 alpha}right)$
Отсюда мы получаем область допустимых значений sin(α) ∈ [2√2/3;1] - значение 1 берем из условия, что углы больше 90° не рассматриваются.
С некоторым приближением можно записать α ∈ [70.53°;90°]
Первый (меньший) корень задает нам точку, начиная с которой расстояние  между пушкой и снарядом начинает сокращаться.
$t_1=displaystyle frac{v}{2g}left(3sinalpha-sqrt{1-9cos^2 alpha}right)$
Второй (больший) корень задает точку, после прохождения которой расстояние снова начинает увеличиваться.
$t_2=displaystyle frac{v}{2g}left(3sinalpha+sqrt{1-9cos^2 alpha}right)$
Но для t₂ необходимо учесть, что наши формулы рассматривают процесс движения тела до бесконечности, а в реальности снаряд может падать ниже уровня пушки лишь разве что в овраг... Поэтому достаточно ограничиться временем движения снаряда при достижении им горизонта пушки, т.е. у=0 в нашей системе координат.
Для этого находим решение уравнения у=0
$displaystyle vtsinalpha-frac{gt^2}{2}=0 \ tleft(vsinalpha-frac{gt}{2}right)=0 to t_1=0 \ vsinalpha-frac{gt_2}{2}=0 to t_2= frac{2vsinalpha}{g}$
Тривиальное решение t₁=0 нас не интересует, а вот t₂ - то, что нужно.
Окончательно получаем решение
$displaystyle t in left[t_1;minleft(t_2,frac{2vsinalpha}{g}right)right], \ t_1=frac{v}{2g}left(3sinalpha-sqrt{1-9cos^2 alpha}right) \ \ t_2=frac{v}{2g}left(3sinalpha+sqrt{1-9cos^2 alpha}right) \ \ alpha in [70.53^circ;90^circ]$
Если интересует длительность промежутка времени, в который приближение происходит, она равна
$displaystyle minleft(t_2,frac{2vsinalpha}{g}right)right]-t_1$
Если минимум равен t₂, получаем решение
$displaystyle frac{v}{2g}left(3sinalpha+sqrt{1-9cos^2 alpha}right)- frac{v}{2g}left(3sinalpha-sqrt{1-9cos^2 alpha}right)= \ \ frac{v}{g}cdotsqrt{1-9cos^2 alpha}, alpha in [70.53^circ;90^circ]$

Answer 2

дети не верят что подобные задачи со звездочкой можно решить в принципе. слава богу что есть еще способные доказать себе и другим обратное. Спасибо ув. Еникей за такую попытку.

Answer 3

Ваш ответ выглядит немного не так как в задачнике, но является правильным !!!

Answer 4

Any key - в операционной системе DOS обозначает "любая клавиша" (Press any key to continue...). Эникейщик - на компьютерном жаргоне "мастер на все руки, только не преуспевший особо ни в чем" )))))

Answer 5

И да, я проверил, на указанном промежутке угла наклона пушки момент времени t2 наступает всегда раньше, чем тело опускается на землю, поэтому минимум между t2 и 2v/g корней из (1-9cos(a)^2) можно не искать.

Answer 6

Нет предела совершенству...