Question

Даны вершины пирамиды А1, А2, А3, А4. Средствами векторной алгебры найти:
1) длину ребра А1А2;
2) угол между ребрами А1А2 и А1А3;
3) площадь грани А1А2А3 ;
4) объем пирамиды А1А2А3A4
5) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины A4.

Координаты вершины:

A1(3, 6, 1)
A2(6, 1, 4)
A3(3, -6, 10)
A4(7, 5, 4)

Answer 1

1) Вектор A₁A₂ = A₂ - A₁ = (6, 1, 4) -  (3, 6 ,1) = (3, -5, 3). Длина вектора равна |A₁A₂| = $sqrt{3^2 + (-5)^2 + 3^2} = sqrt{43}$

2) Вектор A₁A₃ = (0, -12, 9). Его длина |A₁A₃|= 15. Угол между ребрами A₁A₂ и A₁A₃ вычисляется по формуле:

$cos(a) = frac{A1A2}{|A1||A2|}$

A₁A₂ ⁻ A₁A₃  = 3 ⁻ 0 + (-5) ⁻(-12) + 3 ⁻ 9 = 87;
|A₁A₂| ⁻ |A₁A₃| = 15√43

Отсюда cos(a) = $frac{87}{15sqrt{43}} = frac{29sqrt{43}}{215}$