Question

При каких n ∈ N дробь (2n+1)/(n^2-1) несократима??

Answer 1

Дробь сократима тогда и только тогда, когда существует простое число p, которое делит и числитель и знаменатель. Знаменатель равен (n-1)(n+1), т.е. либо это p делит n-1, либо p делит n+1. Если p делит n-1, то т.к. 2n+1=2(n-1)+3, то p=3. Если p делит n+1, то т.к. 2n+1=2(n+1)-1, то p должно делить 1, но это невозможно. Значит, дробь несократима, только если n-1 не делится на 3, или, что то же самое, n=3k или n=3k+2.